Maximaを活用した数学学習

以下では，「TeXmacs」＋「Maxima」の画面で基本的な使い方を解説します．
詳しい解説は，リンク集に登録したサイトを参照してください．

＜Maximaで扱える確率分布＞

離散分布

一様分布，二項分布，負の二項分布，ポアソン分布，ベルヌーイ分布，幾何分布，超幾何分布，等々

連続分布

一様分布，正規分布，t 分布，カイ二乗分布， F 分布，指数分布，対数分布，ガンマ分布，ベータ分布， ロジスティック分布，パレート分布，ワイブル分布，レイリー分布，ラプラス分布， コーシー分布，ガンベル分布

　確率分布に関するパッケージ「distrib」を読み込むと， 確率密度関数，分布関数，分布関数の逆関数，平均，分散，標準偏差，歪度係数， 尖度係数，乱数などを個々の確率分布ごとに求めることができます． 詳細は，マニュアルの「52.distrib」を参照してください．

　確率分布の分類の中で， 正規分布やコーシー分布を含む「安定分布」というものがあります． この確率分布を説明するにはフーリエ変換の知識を必要とするので 通常の教科書で触れられることは少ないのですが， 現実の世界では正規分布以上に重要な確率分布であるようです． ここでは，私の理解の範囲内での解説を試みたいと思います． 計算違いや認識違いがあるときはご指摘いただけるとありがたいです．

　平均が存在しないような確率分布の一つの範疇に「 安定分布」というものがあります． ある確率分布にしたがう確率変数 \(\small X\) の独立なコピーを \(\small X_1, X_2, \ldots\) とします． \[\begin{align*} \small X_1+X_2&\small +\cdots+X_n\\ &\small \quad \overset{d}{=}c_nX+d_n \end{align*}\] となる定数 \(\small c_n, d_n\) が存在するとき， 確率変数 \(\small X\) は安定であるといいます． \(\small d_n=0\) のときは「厳密に安定である」といわれます． 安定分布では，同じ分布にしたがう独立な確率変数の和の分布が， 同じ分布にしたがう確率変数の1次式の分布と一致するということです． 安定であれば，これから述べる 特性関数 のパラメーターの一つである \(\small \alpha\) を用いて \(\small c_n=n^{\frac1{\alpha}}\) と表されます． そこでは，平均や分散の存在は仮定されません． 正規分布もコーシー分布も安定分布であることが知られています． つまり，「安定分布」は，平均や分散が存在する正規分布や， それらがいずれも存在しないコーシー分布をも含む， より広い範疇の確率分布といえます．

• \(\small \alpha\) は特性指数と呼ばれ分布の厚みを定め，小さいと裾が広い．
• \(\small \beta\) は歪度指数と呼ばれ，分布の非対称性を定める． 0 のときは左右対称，
• \(\small \gamma\) は分布の規模を定める．
• \(\small \delta\) は分布全体の平行移動を定める．

　ただし，安定分布の特性関数にはいろいろな定義の仕方があるようです． 私自身も参照先で異なる式が書かれていて，どちらが正しいのだろうかと 悩んでしまいました．10種類以上の定義の仕方があるようです． 上記の定義は文献等で最もよく利用されている定義のようです． 一方では数値計算で利用しやすいタイプの式もあり, 「複数の定義が混在するのは避けられない」ようです． [参照(p.2)]．
　なお，他の確率分布の特性関数は，下記を参照してください．

• Wikipedia：特性関数(確率論)

1. 正規分布 \(\small N(\mu,\sigma^2)\) の確率密度関数は \[\small \frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\] です．この分布は， 安定分布 \(\small S(2, 0, \frac{\sigma}{\sqrt{2}},\mu)\) と対応します。 正規分布では，平均，分散，歪度，尖度がいずれも存在します．
2. コーシー分布 \(\small {\rm Cauchy}\,(\gamma, \delta)\) の確率密度関数は \[\small \frac1{\pi}\cdot\frac{\gamma}{\gamma^2+(x-\delta)^2}\] です．この分布は，安定分布 \(\small S(1, 0, \gamma, \delta)\) と対応します． すでに述べたように， コーシー分布では， 平均，分散，歪度，尖度はいずれも存在しません．
3. レビ分布 Levy(\(\small \delta,\gamma\)) の確率密度関数は \[\small \sqrt{\frac{\gamma}{2\pi}} \frac1{(x-\delta)^{\frac32}}e^{-\frac{\gamma}{2(x-\delta)}} \quad (\delta\lt x)\] で表されます．この分布は， 安定分布の \(\small S(0.5, 1, \gamma, \gamma+\delta)\) と対応します． なお，レビ分布でも，平均，分散，歪度，尖度はいずれも存在しません．

[正規分布] \(\small {\rm normal} (x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\)

[コーシー分布] \(\small {\rm cauchy} (x)=\frac1{\pi(1+x^2)}\)

[レビ分布] \(\small {\rm levi} (x)= \frac1{\sqrt{2\pi}}\frac1{x^{\frac32}}e^{-\frac{1}{2x}}\)

[べき分布] \(\small {\rm power} (x)=\frac1{(x+1)^{\frac32}}\)

1．標準正規分布N(0,1)は，安定分布 \(\small S(2,0,\frac1{\sqrt{2}},0)\) と対応するので，特性関数は下記の関数です． \[\small \varphi(t)=e^{-\frac{t^2}{2}}\] 　確率密度関数は，次の式を計算することで得られます． \[\begin{align*} \small \frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} &\small \varphi(t)e^{-itx}\,dt\\ &\small =\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}e^{-itx}\,dt\\ &\small =\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{-\frac{t^2}{2}}\cos{tx}\right.\\ &\small \qquad \left.-ie^{-\frac{t^2}{2}}\sin{tx}\right)\,dt\\ &\small =\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} \end{align*}\] 　ここで，実際の積分計算はMaximaを利用しました．

２．コーシー分布 Cauchy(1,0) の場合は， 安定分布 \(\small S(1,0,1,0)\) に対応します． 特性関数は \[\small \varphi(t)=\exp(-|t|)\] となるので，確率密度関数は次により計算されます． \[\begin{align*} \small \frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} &\small e^{-|t|}e^{-itx}\,dt\\ &\small =\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{-|t|}\cos{tx}\right.\\ &\small \qquad \left.-ie^{-|t|}\sin{tx}\right)\,dt\\ &\small =\frac1{\pi(1+x^2)} \end{align*}\] 　ここでも，積分計算にはMaximaを利用しました．

　分散が存在する確率分布では， 中心極限定理により標本平均は正規分布に近づいていきます． 安定分布ではどのようになっているかを確認してみましょう． 安定分布の定義によれば，元の分布と同じような分布に近づいていくはずです．

■正規分布の場合
　この場合はすでに何度も示しているところですが， 他との比較をする上で再度示しておきます．

1. Random＞Stable Distributions
2. Financial modeling with heavy-tailed stable distributions
3. Stable Distributions: Models for Heavy Tailed Data

■定義
[1] 確率変数 \(\small X\) が安定であるとは， \(\small X_i~(1\leq i\leq n)\) を \(\small X\) と同じ分布にしたがう 独立な確率変数とするとき， \(\small X_1+X_2+\cdots+X_n\) が \(\small a_n+b_nX\) と同じ分布に 従うときをいう．
　ここで， \(\small a_n\) は実数，\(\small b_n\) は正の実数である． \(\small a_n=0\) のときは「厳密に安定である」という．
　\(\small a_n\) を中心化定数(centering parameter)， \(\small b_n\) を規格化定数(norming parameter)と呼ぶことにします． \(\small a+bX\) と \(\small c+dX\) が同じ分布にしたがえば， \(\small a=c, b=d\) です． つまり，2つの定数は，\(\small n\) に対してただ一つ定まります．

1. \(\small X_1, X_2, \ldots, X_n\) は， \(\small X\) と同じ分布にしたがい互いに独立であるものとする．
2. 分布が一致することを「\(\small \overset{d}{=}\)」で表すことにする．
3. \(\small X\) が安定であるとき，それに付随する2つの定数を \(\small a_n, b_n\) とする．
4. 安定分布は，性質 [11] で述べられる4つのパラメーター \(\small \alpha,\beta,\gamma,\delta\) で規定されます．この値を持つ 安定分布を \(\small S(\alpha,\beta,\gamma,\delta)\) で表す．

■基本的性質
　以下の性質で、 [2]〜[15] は冒頭の文献「1」に同じ番号で 証明と共に紹介されています． [16]〜[22] は「2」「3」の文献によるものです．

[2]， [3]， [4]， [5]， [6]， [7]， [8]， [9]， [10]， [11]， [12]， [13]， [14]， [15]， [16]， [17]， [18]， [19]， [20]， [21]， [22]

したがって，この場合は \[\begin{align*} \small X_1+X_n&+\small \cdots+X_n\\ &\small \overset{d}{=}(n-\sqrt{n})\mu+\sqrt{n} X \end{align*}\] \[\begin{gather*}\small (X_1+\cdots+X_n)-n\mu\overset{d}{=}\sqrt{n}(X-\mu)\\ \small \bar{X}-\mu\overset{d}{=}\frac{X-\mu}{\sqrt{n}}\\ \small \therefore\quad \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\overset{d}{=}\frac{X-\mu}{\sigma} \end{gather*}\] となります． この式から， 平均と分散が存在するような安定分布にしたがう標本平均の標準化は， もとの安定分布の標準化と同じ分布にしたがうことが分かります．

[3] \(\small X\) が安定であれば， \(\small Y=c+dX\) も安定で， \(\small Y\) の中心化定数は \(\small da_n+(n-b_n)c\)， 規格化定数は \(\small b_n\) である． ただし，\(\small c\) は実数，\(\small d\) は正の実数とする．
(証明) \(\small Y\) と同じ分布にしたがう独立な確率変数を \(\small Y_1,Y_2,\ldots,Y_n\) とすると， \[\begin{align*} \small Y_1+Y_2&\small +\cdots+Y_n\\ &\small =(c+dX_1)+\cdots+(c+dX_n)\\ &\small =nc+d(X_1+\cdots+X_n)\\ &\small \overset{d}{=}nc+d(a_n+b_nX)\\ &\small =nc+da_n+db_nX\\ &\small =nc+da_n-cb_n+b_n(c+dX)\\ &\small =(nc+da_n-cb_n)+b_nY \end{align*}\] これは，安定分布を1次変換しても規格化定数の 値は変わらないことを示しています．

[4] \(\small X\) が安定であれば，\(\small -X\) も安定で， 中心化定数は \(\small -c_n\)，規格化定数は \(\small b_n\) である．
(証明) \(\small -X_1,-X_2,\ldots,-X_n\) を \(\small -X\) と 同じ分布にしたがい互いに独立な確率変数とすると， \[\begin{align*} \small -X_1&\small -\cdots-X_n\\ &\small =-(X_1+\cdots+X_n)\\ &\small \overset{d}{=}-(a_n+b_nX)\\ &\small =-a_n+b_n(-X) \end{align*}\]

[5] \(\small X, Y\) が安定で， \(\small Y\) は \(\small X\) と同じ規格化定数\(\small b_n\)を持ち、 中心化定数は \(\small c_n\) とする. このとき， \(\small Z=X+Y\) は安定で， 中心化定数 \(\small a_n+c_n\), 規格化定数 \(\small b_n\) を持つ．
(証明) \(\small Z_1,Z_2,\ldots,Z_n\) を \(\small Z\) と同じ分布に したがい互いに独立な確率変数とすると \[\begin{align*} \small Z_1+Z_2&\small +\cdots+Z_n\\ &\small =(X_1+Y_1)\\ &\small \quad +\cdots+(X_n+Y_n)\\ &\small =(X_1+\cdots+X_n)\\ &\small \quad +(Y_1+\cdots+Y_n)\\ &\small \overset{d}{=}(a_n+b_nX)+(c_n+b_nY)\\ &\small =(a_n+c_n)+b_n(X+Y)\\ &\small =(a_n+c_n)+b_nZ \end{align*}\]

[7] \(\small X, Y\) が同じ安定分布にしたがい互いに独立であれば， \(\small X-Y\) は厳密に安定で同じ規格化定数を持つ．
(証明) \(\small Z_i=X_i-Y_i (1\leq i\leq n)\) とする． \(\small X_i\) は \(\small X\) と同じ分布にしたがい互いに独立， \(\small Y_i\) は \(\small Y\) と同じ分布にしたがい互いに独立とする． このとき， \[\begin{align*} \small Z_1+Z_2&\small +\cdots+Z_n\\ &\small =(X_1-Y_1)+\cdots+(X_n-Y_n)\\ &\small =(X_1+\cdots+X_n)\\ &\small \quad -(Y_1+\cdots+Y_n)\\ &\small \overset{d}{=}(a_n+b_nX)-(a_n+b_nY)\\ &\small =b_n(X-Y)=b_nZ \end{align*}\] なお，ここでは，同じ安定分布にしたがい\(\small n\) が定まれば， 2つの定数の値はただ一つ定まることを利用しています．

[8] \(\small X\) が安定であれば，規格化定数は \(\small 0\lt \alpha \leq 2\) となる\(\small \alpha\) に対して \(\small b_n=n^{\frac1{\alpha}}\) と表せる． \(\small \alpha\) を特性指数という．
(証明) この証明は簡単ではありません． この項目の冒頭で紹介した英文サイトを参照してください．

[9] すべての安定分布は連続分布である．
(証明) 離散分布とすると矛盾が生じることで証明されます． 詳細は英文サイトを参照してください．

[10] \(\small X_1,X_2,\ldots\) を同一の確率分布にしたがう 独立な確率変数とし，\(\small Y_n=\sum_{i=1}^{n}X_i\) とする． \(\small n\to\infty\) のとき \[\small \frac{Y_n-a_n}{b_n}\] が収束するような定数 \(\small a_n, b_n~(b_n>0)\) が存在すれば， 収束先の分布は安定分布である．
　これが，中心極限定理を一般化した「一般化中心極限定理」です．

[12] 確率変数 \(\small X_1, X_2\) は互いに独立で， 同じ特性指数 \(\small \alpha\) をもつ安定分布にしたがうものとし， [11]の他の定数をそれぞれ \(\small \beta_i, \gamma_i, \delta_i (i=1,2)\) とする． このとき，\(\small X_1+X_2\) は特性指数 \(\small \alpha\) を持つ安定分布で，[11]の他の定数は \(\small \delta=\delta_1+\delta_2\), \(\small \gamma=(\gamma_1^{\alpha}+\gamma_2^{\alpha})^{\frac1{\alpha}}\)， そして \[\small \beta=\frac{\beta_1\gamma_1^{\alpha}+\beta_2\gamma_2^{\alpha}} {\gamma_1^{\alpha}+\gamma_2^{\alpha}}\] である．
(証明) \(\small X_1, X_2\) の特性関数は，それぞれ \(\small E(e^{itX_1}), E(e^{itX_2})\) であるので， \(\small X_1+X_2\) の特性関数は \(\small E(e^{i tX_1)}E(e^{i tX_2})\) であることを利用して証明されます． 詳細は専門書を参照してください．

[13] 標準正規分布 N(0,1) は， 特性指数が \(\small \alpha=2, \gamma=1/\sqrt{2}\) の安定分布である．
(証明) \(\small Z_1,Z_2,\ldots,Z_n\) を N(0,1) にしたがう 互いに独立な確率変数とすると， \(\small Z_1+\cdots+Z_n\) は \(\small \mu=0, \sigma^2=n\) の 正規分布にしたがうので，その平均 \(\small \bar{Z}\) を標準化した \(\small \bar{Z}/(1/\sqrt{n})\) は N(0,1) にしたがいます． つまり，\(\small Z\) を N(0,1) にしたがう確率変数とすると \[\small \frac{\bar{Z}}{1/\sqrt{n}}\overset{d}{=}Z\] \[\small Z_1+\cdots+Z_n\overset{d}{=}\sqrt{n}Z\] 　これは，標準正規分布は厳密に安定であり，\(\small \sqrt{n}=n^{\frac1{2}}\) であることから，\(\small \alpha=2\) の安定分布であることを示している． \(\small X\) が正規分布 \(\small N(\mu,\sigma^2)\) にしたがう場合は， [3] により \(\small \alpha=2\) の安定分布であることが分かる． また，\(\small \alpha=2\) であれば [11] において \(\small \omega(t,\alpha)=0\) であり，N(0,1) では \(\small c=0\) であるので，N(0,1) の特性関数は \(\small e^{-t^2}\) である．

[14] コーシー分布 Cauchy(0,1) は安定分布で，特性指数は \(\small \alpha=1\) で \(\small \beta=0\) である．

[15] レビ分布 Levy(0,1) は安定分布で， 特性指数は \(\small \alpha=\frac12\) で \(\small \beta=1\) である．

[17] 安定分布 \(\small S(\alpha,-\beta,\gamma,\delta)\) の確率密度曲線は，\(\small S(\alpha,\beta,\gamma,\delta)\) の確率密度曲線を 反転させたものである．

[18] 安定分布 \(\small S(\alpha,\beta,\gamma,\delta)\) において， \(\small \alpha\) が小さいと歪度が大きく， 大きいと歪度が小さい(p4)．実際， 正規分布・コーシー分布・レビ分布では \(\alpha=2,1,0.5\) ですが，グラフはこの順番で歪度が大きくなっています．

[19] 安定分布 \(\small S(\alpha,\beta,\gamma,\delta)\) の確率密度関数の定義域は実数全体か半直線であり， 半直線になるのは \(\small 0\lt \alpha\lt 1, \beta=\pm1\) の ときに限る．具体的には， \(\small \beta=1\) のときは \(\small [\delta,\infty)]\)， \(\small \beta=-1\) のときは \(\small (-\infty,\delta]\)．

[20] 安定分布 \(\small S(\alpha,\beta,\gamma,\delta)\) は， \(\small \alpha=2\) の正規分布のときは裾が軽く(light tail)， 全てのモーメントが存在する．しかし， それ以外では裾が重く(heavy tail)，漸近的にべき乗で減少する． \(\small \alpha\lt 2\) のときは，正規分布と区別するため 「安定パレート分布」という．
　\(\small 0\lt\alpha\lt 2, -1\lt\beta\leq 1\) のとき， 確率変数 \(\small X\) が安定分布 \(\small S(\alpha,\beta,1,0) \) にしたがえば，\(\small x\to\infty\) のとき，確率密度関数を \(\small f(x)\) とすると \[\small P(X\gt x)\sim \frac{\gamma^{\alpha}c_{\alpha}(1+\beta)}{x^{\alpha}}\] \[\small f(x)\sim \alpha \frac{\gamma^{\alpha}c_{\alpha}(1+\beta)}{x^{\alpha+1}}\] ここで，\(\small c_{\alpha}=\Gamma(\alpha)\sin\frac{\pi\alpha}{2}/\pi\) である． \(\small \beta=-1\) のときは，右側の裾はどんなべき乗よりも早く衰退する ．

[21] 安定分布 \(\small S(\alpha,\beta,\gamma,\delta)\) において， \(\small \alpha\lt 2\) であれば分散は存在しない． さらに，\(\small \alpha\leq 1\) であれば平均が存在しない． 分数モーメントを使用するとき，\(\small E(|X|^p)\) は \(\small 0\lt{p}\lt\alpha\) であるときに限り存在する．

[22] それぞれの特性指数 \(\small \alpha\) が異なる安定分布にしたがう 確率変数を \(\small X, Y\) とすると， \(\small X+Y\) は安定ではない．

　ここに，安定分布の性質の箇所で参照した 文献2の著者 John P. Nolan 教授 (ワシントン州，アメリカン大学) による 安定分布をシミュレートできる「stable.exe」というプログラムがあります． パラメーターを指定することで，確率密度曲線(pdf)，累積分布曲線(cdf)， 累積分布関数の逆関数(quantile)，乱数の生成などを行うことができます．
　以下では，このプログラムを利用して， 4つのパラメーターの違いによりグラフがどう変わるかを鑑賞してみます． プログラムの解説文では パラメーターの取り方には幾つかの流儀があるようですが， 以下は「S0」パラメーターで試したものです．
　このプログラムは，Nolan 教授の サイトから入手することができます． なお，元図は背景が黒色ですが，反転させて白色にしました．

■ \(\small S(2,\beta,1,0)\) の場合

■ \(\small S(1,\beta,1,0)\) の場合

■ \(\small S(0.5,\beta,1,1)\) の場合

■ \(\small S(\alpha,0,1,0)\) の場合

■ \(\small S(\alpha,1,1,1)\) の場合

　「べき分布」「安定分布」「レビ分布」の項目を作成するにおいては， 下記のサイトを参照させていただきました．

• Wikipedia:パレート分布
• Wikipedia:パレートの法則
• パレート分布の意味
• べき分布と正規分布
• リスク管理Navi: べき分布(べき乗則)
• ランキングデータの法則性
• べき乗則・パレート分布・ジップの法則

• 増井俊之の「界面潮流」：何でもフラクタル
• なぜ統計学では釣り鐘型の分布が使われ、物理現象では右肩下がりの分布が使われるのか
• 理論と現実の誤差について考える
• パレートの法則とロングテールの法則
• TeX言語でもZipfの法則は成り立つか？
• 大学間格差はべき乗則にしたがう
• 運動の基本原則〜上達度の法則『べき乗則』〜
• 「はてなブックマーク」はべき乗則に従っているのか調べてみた
• ネットワークの構造
• ビッグデータも自然現象の法則から逃れられないという一つの発見
• べき分布のメカニズム
• べき乗分布のインプリケーション
• ロングテールをWebサイトのアクセスログから検証する
• インターネット計測とデータ解析
• 新ネットワーク理論の可能性を語る
• 水滴・油滴にみるべき乗則
• 天文の軌道に関する"べき乗則"について
• 相場の変動は正規分布と異なる
• 為替市場の謎[PDF:7頁]
• メディアミックスにおけるPower Law
• パレート指数とその数学的含意
• 砂山や砂丘形成における「べき乗則」の出現
• フラクタルとは

• フラクタルの物理[PDF:98頁]
• フラクタル構造の工学的性質[PDF:6頁]
• べき指数を用いたインターネットバックボーンのネットワーク構造分析[PDF:16頁](丸田)
• 都市の規模や勢力の分布に関する考察及び ベキ指数を用いた都市圏集積度分析手法の提案[PDF:46頁]
• 論文の引用・共著関係から何が分かるか[PDF:6頁]
• 生態学のスケーリング理論ークライバーの法則とフラクタル成長ー[PDF:12頁]
• 企業の所得分布のジップ則[PDF:23頁]
• 企業資産・所得におけるジップの法則[PDF:8頁]
• 分布関数による経済メカニズムの解明[PDF:8頁]
• ロングテール考ーべき乗分布の性質とコンテンツ経営戦略ー[PDF:83頁]
• 経済現象における分布[PDF：7頁]
• 価格変動のフラクタル分布[PDF：43頁]
• 価格変動のフラクタル性への統計物理的アプローチ[PDF：40頁]
• 外国為替取引におけるクラスタ現象のモデル化[PDF：28頁]
• 企業所得成長モデルと投資戦略[PDF：13頁]
• 企業間取引の大規模ネットワーク構造からみた企業の特徴[PDF：12頁]
• 複雑な相互作用ネットワークを導入した人工市場シミュレーション[PDF：9頁]
• 状態のフラクタル次元を用いたカオティックな系の解析[PDF：13頁]
• べき乗則を導く確率モデルと映画の統計データへの適用[PDF:4頁]
• 格差分布の統計的ダイナミクス[PDF:37頁]
• 島の生物地理学とZipfの法則[PDF:6頁]
• 人口分布の質量分析[PDF:12頁]
• 火山爆発指数(VEI)から見た噴火の規則性[PDF:8頁]
• 生態学のスケーリング理論ークライバーの法則とフラクタル生長ー[PDF:12頁]
• 生物物理とフラクタル[PDF:5頁]
• 統計的テキスト解析(5)〜統計的法則と指標〜
• 「情報社会学序説」にみる市場社会の「べき分布」

• Tsallis統計の基礎数理
• Tsallis統計のマクロとミクロ
• Tsallis統計力学の背景と新展開
• 非加法的統計力学
• 一般化された中心極限定理とTsallisの非加法的統計力学

• Wikipedia：安定分布
• 安定分布 in MathWorks
• 〜対称安定分布〜について
• Wikipedia：レヴィ分布
• コーシー分布
• コーシー分布について
• 特性関数の定義と性質[PDF：9頁]
• 特性関数[PDF：9頁]
• 混沌系工学特論講義ノート：金融データと確率過程[PDF：12頁]

• 中心極限定理の歴史[PDF:9頁]
• 中心極限定理：初級Mathマニアの寝言
• 新しい統計手法「超一般化中心極限定理」とは？
• Super Generalized Central Theorem
• アドレナリン

• スケールフリー・ネットワークの提唱
• 複雑ネットワークの統計的性質
• 代謝ネットワークはスケールフリーかつモジュール性を持つ階層的ネットワーク
• 複雑ネットワーク：統計物理学の視点
• 複雑ネットワーク生成と統計力学
• 複雑系数理モデルの可能性
• 砂山くずしのモデル
• 砂山の可換モデル
• 自己組織化臨界現象と砂山崩しのモデル
• 地震と自己組織化臨界現象
• 地震現象の新しい見方
• 自己組織化と進化の論理
• 新しいパラダイムとしての複雑現象研究
• スケールフリー性
• 大規模ネットワークの性質と先端グラフアルゴリズム
• 「スモールワールド」ネットワークの集合的ダイナミクス
• スケールフリーネットワークの提唱
• 小さな世界のモデル
• スモールワールドとチャンス発見
• アルゴリズムとプログラム実践講座
• ネットワークが創発する知能
• 生物情報ネットワークの構造解析
• ネットワーク構造がもたらすロバストナ臨界性
• 相互作用系：順問題と逆問題
• マルチエージェントシミュレーションによる商品市場の分析
• 外界からの入力がないときでも、なぜ大脳は常に活動しているのか
• 脳と情報ネットワークの横断的研究
• 複雑ネットワークと感染症モデル
• ネットワーク科学におけるフラクタル分析
• ネットワーク科学

• Analysis and visualization of very large networks
  「Install Shield」の箇所をクリックするとファイルがダウンロードできますが、 私の環境(Windows10)ではデフォルトで「Users」の隠しフォルダーである 「AppData」の「Local」にインストールされ， スタートメニューには登録されませんでした．インストール先は、 通常フォルダーに変更した方が良いようです。隠しフォルダーにインストールされた ときは、Explorerの「表示」の箇所で「隠しフォルダー」にチェックを入れて 「AppData」が表示されるようにする必要があります。
• Pajekを使ったネットワークデータの分析[PDF:13頁]
• 大規模ネットワーク解析・可視化プログラムPajek[PDF:190頁]
• ネットワーク可視化の技法ーPajekの使い方[PDF:24頁]
• Pajek入門ー巨大ネットワーク分析用フリーソフトウェア
• ネットワークの特徴量、Pajekの使い方
• Program for Analysis and Visualization of Large Network[PDF:98頁]
• Pajek-program for large Network analysis
• Pajek Instructions -Quick reference sheet

• Pareto Distribution
• The Pareto Distribution[PDF:15頁]
• A Theory of Pareto Distributions[PDF:48頁]
• Power laws, Pareto distributions and Zipf's law[PDF:28頁]
• Power-Laws & Heavy Tail Distributions
• Financial modeling with heavy-tailed stable distributions[PDF:14頁]
• Stable Distributions: Models for Heavy Tailed Data[PDF:34頁]
• Random：Stable Distributions
• Information on stable distributions
• The Levy Distribution
• The Cauchy Distribution
• Alpha-Stable distribution in MATLAB
• Stable Distributions -- Models for Heavy Tailed Data[PDF：34頁]
• Approximating the Distribution of Pareto Sums[PDF：53頁]
• Humboldt-University：Stable Distributions[PDF:28頁]
• Parameter estimation for stable distributions with application to commodity future[PDF:28頁]
• Introductions to Inverse Erf[PDF:14頁]
• Infinitely Divisible Distributions[PDF:40頁]
• Infinitely Divisible Processes[PDF:133頁]