「ベキ分布」：関連リンク集

県庁所在地の人口
下図は， ランキングサイトをもとに， 平成27年の国勢調査による県庁所在地47都市の人口を 人口の多い順に棒グラフで示したものです． 縦軸は人口(単位は「千人」)，横軸は順位を表します．
ちなみに，1位は東京23区(9,272千人)， 2位は横浜市(3,724千人)， 3位は大阪市(2,691千人)， 4位は名古屋市(2,295千人)， 5位は札幌市(1,952千人)です．

(注) このデータを回帰分析 \(\small y=C/x^{a}\) にあてはめると \(\small C=8911, a=0.97\) が得られますが， この数値を使ってもグラフは上図とほとんど重なります． 本来は \(\small y=9272/x\) で示すべきですが，簡単のため上式で提示しました．

順位	都市名	人口	\(\small 人口\times 順位\)
5	札幌市	1,952	9,760
10	広島市	1,194	11,940
20	大分市	478	9,560
30	大津市	340	10,200
40	福井市	265	10,600

常用対数
常用対数は，要するにすべての値を \(\small 10^a\) のような 形で表して，その指数部分を考えようとするものです． たとえば，1光年は 約9,460兆メートルです． 大きめに見積もって「1京メートル」とすると， 「10,000,000,000,000,000 (m)」となりますが， この値を10のべき乗で表すと \(\small 10^{16}\) であり， 指数部分だけみると「16」という値になります． 逆に，非常に小さい値として分子や原子の大きさを扱うときは 「オングストローム」という単位が用いられますが， これは「0.0000000001(m)」のことであり，10のべき乗で表すと \(\small 10^{-10}\) なので， 指数部分だけをみると「\(\small -10\)」という値になります． つまり，原子の世界から宇宙の世界まで，\(\small 10^a\) の 形で考えると，\(\small a\) の値は \(\small -10\sim 20\) 程度の 値で済むことになります． \(\small b=10^a\) であるとき，指数 \(\small a\) のことを \(\small b\) の常用対数といい \(\small \log{b}\) で表します． たとえば，\(\small \log{1000}\) は \(\small 1000=10^3\) なので， \(\small \log{1000}=3\) となります．

身近にある対数
このような対数の値は，実際には日常でも聞き慣れたものになっています． 地震のマグニチュード(M)は，地震の膨大なエネルギー(E)を対数で表したもので， \(\small \log{E}=4.8+1.5M\) により定義されています． たとえば，マグニチュードが「8」の地震のエネルギーは， \(\small \log{E}=4.8+1.5\cdot 8=16.8\) であることから， \(\small E=10^{16.8}\approx 6.3\times 10^{16}\) (J) です． 単位は「ジュール」です．
また，酸性・アルカリ性の程度はpHで表されますが， それは液体に含まれる水素イオンの濃度(H\(\small ^{+}\))で測定されます． その値は非常に小さいので，対数を取って \(\small {\rm pH}=-\log{H^{+}}\) で定義されます． たとえば，中性である \(\small {\rm pH}=7\) の場合の水素イオン濃度は， \(\small \log{H^+}=-7\) であることから， \(\small H^+=10^{-7}\) (mol/L) となります．

順位	都市名	人口	常用対数
1	東京23区	9,272	3.967
2	横浜市	3,724	3.571
3	大阪市	2,691	3.430
4	名古屋市	2,295	3.361
5	札幌市	1,952	3.290
40	福井市	265	2.423

ベキ分布の特徴
両対数グラフをみると，ほぼ直線状になっているのが分かります． 実際，\(\small y=C/x^a\) の関係があるとき， これらをことごとく10のべき乗に直して， \(\small x=10^p, y=10^q, C=10^r\) とすると \(\small 10^q=10^r/(10^p)^a=10^r/10^{ap}=10^{r-ap}\) となるので， 指数部分を比較すると \(\small q=r-ap\) となります． \(\small p=\log{x}, q=\log{y}\) であるので， 座標軸を対数の値に取ると対数の値である \(\small p, q\) の間には \(\small q=r-ap\) という1次式の関係が成り立ち， グラフは右下がりの直線になります． 指数の \(\small a\) が傾き部分を表すことになります． つまり，\(\small y=C/x^a\) という形のベキ乗で表されるグラフの 特徴は，それを両対数グラフで表すと傾きが \(\small -a\) の直線に なるということです．

ジップ(Zipf)の法則
この県庁所在地の人口は，順位をつけて並べると反比例の関係にあります． それは，人口と順位の積がほぼ一定(定数)であることを意味します． このような関係は 「ジップ(Zipf)の法則」と呼ばれています． 実際には，アメリカの言語学者 J.K.Zipf が， 小説「ユリシーズ」に現れる単語の頻度を調べて， その頻度と順位の積がほぼ一定であることを発見したことによります． この関係は単語の頻度や都市の人口だけに留まらず， 非常に多くの現象で見いだされています[参照]．

■「べき分布」の具体例
我々の住む世界は、至るところ「ベキ分布」だらけのようです。 ベキ分布は、分布の曲線が \(\small y=C/x^{a}\) のようなべき乗関数で 表されるような確率分布です。両辺の常用対数を取ると \[\small \log{y}=\log{C}-a\log{x}\] となるので、\(\small Y=\log{y}, X=\log{x}\) とおくと \(\small Y=\log{C}-aX\) となり 傾きが \(\small -a\) の直線になります。 このように、ベキ分布は、2つの座標軸を対数目盛にすると (つまり両対数グラフ [1] [2] を考えると) 分布曲線が直線で表されるのが大きな特徴です。 べき指数 \(\small a\) の値は \(\small 2\sim 3\) の 値を取ることが多いようです。 下記のように、 この世界の多くの事象が両対数グラフでは直線で表され、 ベキ分布に従っていることが分かります。

【注】2つの変量 \(\small x, y\) の間に \(\small y=Cx^{\gamma}\) のような べき乗の関係があるとき、2つの変量の間には「べき乗則」が成り立つと言われます。 「ベキ分布」も \(\small y=C/x^{a}=Cx^{-a}\) と表せるので べき乗則を満たしています。 以下に紹介する大部分の例は「ベキ分布」に関する内容ですが、 幾つか「ベキ分布」ではないが「べき乗則」を満たす例が含まれています。 また、「ベキ分布」を「べき乗則」と呼んでいる場合もあります。

(1) 火星と木星の間にある小惑星帯
下図は、個々の小惑星の直径と個数頻度のグラフです。 8m望遠鏡で観測すると直径100m前後まで検出できるようです。 両対数グラフが直線になっているので、 小惑星の個数と直径はベキ分布に従っていることが分かります。

(2) 地震の規模(マグニチュード)と頻度
下図は、理科年表(2005年)のデータにより、 地震の規模と発生頻度の関係を示したものです。 マグニチュードは対数値を表すので、このグラフは両対数グラフです。 マグニチュードは対数値なので、横軸は対数軸での目盛りです。 見事な直線上に乗っています。この関係は 「グーテンベルク・リヒター則」と呼ばれています。

(3)ステンレス上の水滴の個数
下図は、ステンレス板の上の水滴の大きさと個数を両対数グラフで示したものです。 直線状になることから、ベキ分布に従っていることが分かります。

(4)高額納税額と順位
下図は、1997年の全国の高額納税者の納税額と、その順位の関係を示したものです。 これもジップの法則に従っています。 これは、この年度だけのことでも、日本だけのことでもありません。

(5)円ドル為替レートの変動
下図は、 円ドル為替レートの1分刻みの変動(13年間の約400万個のデータ)をもとに、 為替レートの変位を求めたものです。 横軸は変位 \(\small dP\) を標準偏差で割った値の絶対値、 縦軸は相補累積分布 \(\small P(X\geq |dP/\sigma|)\) です． ドル高方向(\(\small dP>0\))とドル安方向(\(\small dP<0\))に 分けて表示されていますが， ほとんど重なっているのが分かります． つまり、日々の為替レートは激しく変動するのですが、 その変動の大きさはランダムではなく、 ベキ分布にしたがって変動しているということです。

(6)戦争の戦死者と戦争の数
下図は、1816年から2007年までの世界における戦争の戦死者数と戦争の数の関係を 両対数グラフで示したものです。 縦軸は戦死者 \(\small x\) 人以上の戦争の数です。つまり \(\small P(X\geq x)\) と \(\small x\) との関係です。この関係も、ほぼベキ分布に従っています。

(7)流入キーワード別のアクセス数
下図は、ある2社のWebサイトの検索エンジン経由の流入キーワード別 アクセス数を両対数グラフで示したものです。 縦軸はキーワード毎のアクセス数、 横軸はアクセス数が多い順のキーワードの数です。

(8)細胞内代謝ネットワーク
下図は、43種類の生物の細胞内の代謝関係を酵素反応の基質を頂点、 基質間の反応を枝としたネットワークとして捉えて、 枝の数(横軸)による頂点の頻度(縦軸)を分析したものです。 両対数グラフで直線状になるということは、 頂点の数は枝の数を横軸としてベキ分布に従っているということです。 このようなネットワークはスケールフリー・ネットワークと呼ばれ、 マクロからミクロまで多くのネットワークで見いだされています。 一般に、頂点から伸びている枝の数を「頂点の次数」といい、 次数が \(\small k\) である頂点の頻度を「次数分布」といいます。 ベキ分布にしたがっていることは \(\small P(k)\propto k^{-\gamma}\) という関係にあることを示しています。

(9)タンパク質相互作用ネットワーク
下図は、タンパク質の相互作用を考えるとき、 個々のタンパク質を頂点、それらの相互作用を枝とみなしたネットワークを 考えるとき、そのネットワークの次数分布です。 つまり、一つのタンパク質がどれだけの数のタンパク質と相互作用をしているかが横軸、 その数と同じ数の相互作用をしているタンパク質の数が縦軸です。

さらに、ベキ分布の累積分布関数を考えると、 つまり \(\small P(X\leq x)=F(x)\) とおくと \[\small F(x)=\int_{b}^{x}f(t)\,dt=1-\frac{b^a}{x^a}\] となるので、\(\small P(X\geq x)=1-P(X\leq x)\) であることから、 \(\small X\geq x\) となる確率も \[\small P(X\geq x)=\frac{b^a}{x^a}\] となりべき乗関数で表されます。この関数は「相補累積分布関数」と呼ばれます。 この関数の両対数グラフも右下がりの直線になります。 最初に紹介した例では、(6)(7)が相補累積分布関数です。

ベキ分布の大きな特徴として「自己相似性」があります。 \(\small x\) を \(\small c~(c\gt 0)\) 倍すると、 \[\small f(cx)=\frac1{c^{a+1}}f(x)\propto f(x)\] となり、もとの関数と比例します。 横軸を \(\small c\) 倍すると、 縦軸は \(\small 1/c^{a+1}\) 倍になります。 グラフでいうと、縦軸である \(\small y\) 軸を \(\small c^{a+1}\) 倍すると もとのグラフと重なってしまうことになります。 このような性質を持つ関数は \(\small Cx^{\gamma}\) の形のベキ関数しか存在しません[参照]。

さて、 数式処理ソフト「Maxima」を利用すると、 いろいろな確率分布にしたがう乱数を発生させることができます。 その機能を利用して、べき分布に従う乱数を発生させて10個の標本平均を求めてみます。 下図は、10個の標本平均を1万回求めてグラフ表示したものです。 横軸は何回目に求めた値であるかを、 縦軸はそのときの標本平均の値です。 標本平均を求めるたびに、10個平均の値が大きく変動しているのが分かります。 標本平均が1000を超える場合が何度も出ています。 何しろ、確率分布としての平均も分散も存在しないのです。 具体的にどのような値になっているかをみると、 たとえば標本平均が \(\small 1253.14\) のときの個々の値は \[\small 1, 2, 12503, 2, 1, 3, 1, 10, 1, 2\] という値でした。整数部分のみを示しています。 大部分は小さな数の中に、5桁の数 \(\small 12503\) が1個含まれていたために 標本平均が1000を超えたことが分かります。 このように、ベキ分布では値がダラダラと減少していくので、 大きな値の発生確率を正規分布のように無視することができません。 試行回数が増えていくと、時折とんでもなく大きな値が発生することがあるのです。 なお、このときの標準偏差は \(\small 3750\) です。
また、このグラフから特定の範囲を切り出して縦横のスケールを変えて表示すると、 全く同じようなグラフになることも分かると思います。「自己相似性」があるのです。

下図は、この標本平均の値の隣どおしの差の絶対値を求めたものです。つまり、 \(\small k\) 回目に求めた10個の平均を \(\small M(k)\) とすると、 \(\small |M(k+1)-M(k)|\) の値の変化です。 値が大きすぎるので、縦軸は対数軸にしました。 激しく振動しているのが分かります。 なお、上段のグラフとは異なる乱数によるものです。

しかしながら、 この隣どおしの差の絶対値の値から0.2刻みの度数分布を求めて、 そのヒストグラムを折れ線グラフで描画するとベキ分布の形状が現れてきます。 下段は、両対数グラフにしたものです。途中からは直線状になり、 変動の絶対値がある程度以上大きい部分はベキ分布に従っていることが分かります。 つまり、メチャクチャに変動しているように見えても、 その変動はベキ分布という一定の確率分布に従って変動しているという ことになります。

• 「ベキ分布」の特徴と数理： 日本数学教育学会高専・大学部会論文誌，第26巻，第1号，pp.73-90，2020.03
• 平均も分散も存在しない確率分布： 高専数学教育研究会，岩手県民情報交流センター，2022.11
• べき分布のデータ： 数理モデルに関する科研費研究会，東京都立産技高専，2023.06

• DLAってアートみたいだよね。
  DLAのコンピュータシミュレーションのアルゴリズムについて、 順を追って解説されています。
• Processing で DLA 風の画像を作成
  DLAは、通常はブラウン運動ですが、プログラミング言語「Processing」を利用して、 ランダム運動の場合や、特定の条件をつけた場合などが シミュレートされています。
• DLAとそれに関連した現象
  この現象について、専門的に解説されています。
• 生物物理とフラクタル
  「非可逆過程のパターン形成」の節で、拡散律速凝集に触れられています。
• DLAとそれに関連した現象
  物性研究に掲載されたものです(1987年)。この現象について詳述されています(45頁)。

• Tsallis統計のマクロとミクロ
• 基本的な非線形微分方程式から導かれるTsallisエントロピーとマルチフラクタル構造
• Tsallis統計力学の背景と新展開
• Tsallis統計の基礎数理
• 非加法的統計力学
• 一般化された中心極限定理とTsallisの非加法的統計力学
• 堆積モデルとTsallis統計 (q-解析との類似性に言及されています。)

• この現象と数学との関わりについては、数学学習リンク集の 「確率論と数理物理学」の 「４．臨界現象へ」が分かりやすいかもしれません。
• 数学色の強い解説は「数学学習リンク集」の 「確率統計」 「複雑系」 「物理系」を参照してください。

• �A2次元での相転移を説明したKT転移
• �B1次元ではもっとすごい相転移が起こる
• �C量子ホール効果をトポロジーで説明

• この現象と数学との関わりについては、数学学習リンク集の 「確率論と数理物理学」の 「４．臨界現象へ」が分かりやすいかもしれません。
• 数学色の強い解説は「数学学習リンク集」の 「複雑系」を参照してください。

• 数学色の強い解説は「数学学習リンク集」の 「複雑系」や 「物理系」を参照してください。

• Analysis and visualization of very large networks
  「Install Shield」の箇所をクリックすると、ファイルがダウンロードできます。
  ただし、私の環境(Windows10)では、 デフォルトでは「Users」の隠しフォルダーである「AppData」の 「Local」にインストールされ、 スタートメニューにも登録されませんでした．
• 大規模ネットワーク解析・可視化プログラムPajek
  「Pajek」のマニュアルが翻訳されたものです。190頁あります。
• ネットワーク可視化の技法ーPajekの使い方
  Pajekの使い方について、図入りで説明されています。
• Pajek入門ー巨大ネットワーク分析用フリーソフトウェア
  使用法について分かりやすく解説されています。
• Pajekを使ったネットワークデータの分析
  基本的な使い方がまとめられています。

• 複雑系のシミュレート
  「複雑系のシミュレーション -Swarmによるマルチエージェント・システム-」 という書籍のサポートページです。 「Swarm」は複雑系をシミュレートするシステムとして開発されたライブラリーで、 JavaやObject-Cで利用できるようです。 ここでは、そのプログラムやアプリを無償でダウンロードできます。
• パーコレーションの視覚化
  「Swarm」を利用して、平面と空間の場合の正方格子について パーコレーションのシミュレーションを行う動画が登録されています。

• ベノワ・B・マンデルブロー：フラクタル幾何学、日経サイエンス、1984
  この書籍は2011年に上下2巻に分けて筑摩書房で文庫化された。
• H.E.スタンリー：相転移と臨界現象、東京図書、1987
• 香取眞理：複雑系を解く確率モデル、講談社、1997
• スチュワート・カウフマン：自己組織化と進化の論理、日本経済新聞社、1999年
  この書籍は2008年に筑摩書房により文庫化された。
• 高安秀樹・高安美佐子：経済・情報・生命の臨界ゆらぎ、ダイヤモンド社、2000
• スタウファー、アハロニー他：パーコレーションの基本原理、吉岡書店、2001
• アルバート・ラズロ・バラバシ：新ネットワーク思考、NHK出版、2002
• マーク・ブキャナン：歴史の方程式、早川書房、2003
  この書籍は「歴史は『べき乗則』で動く」と改題されて2009年に文庫化された。
• 高安秀樹：経済物理学の発見、光文社新書、2004
• マーク・ブキャナン：複雑な世界・単純な法則、草思社、2005
• マンデルブロー、ハドソン：禁断の市場、東洋経済新報社、2008
• 増田直紀・今野紀雄：複雑ネットワークー基礎から応用まで、近代科学社、2010
• 須鎗弘樹：複雑系のための基礎数理、牧野書店、2010
• 樋口保成：パーコレーション、遊星社、2011
• アルバート・ラズロ・バラバシ：バースト、NHK出版、2012
• マーク・ブキャナン：市場は物理法則で動く、白楊社、2015
• 田崎晴朗・原隆：相転移と臨界現象の数理、共立出版、2015
• アルバート・ラズロ・バラバシ：ネットワーク科学、共立出版、2019
• 「ベキ分布」の特徴と数理、 日本数学教育学会高専・大学部会論文誌第24巻第1号、2020
  このページで紹介した「ベキ分布」の主な特徴と数理について、 その主要部分を取りまとめて発表したものです。