Maximaを活用した数学学習

[参考１] Maximaのグラフ描画を極めたいときは，「Maximaでお絵かき」を参照してください． ただし，タイトルは易しそうですが，内容は全く初心者向きではありません． Maximaやgnuplotについて，あるレベル以上の方でないと読みこなせないと思います．

[参考２(TeX利用者向け)]
Maximaやgnuplotを利用しなくても、TeXの中で立体図形や曲面描画を可能にする 「MePoTeX」というマクロパッケージがあります。 その解説ページを作成したので、 TeXを利用している方は参照してください[概要1、概要2]。たとえば、 下記のような図をTeXのソースコードの中に簡単に記述でき、 パラパラ漫画まで作成することができます。 最後の図は、球面調和関数 \(\small Y_2^0\) のグラフです。

\(\small y\) 座標の範囲は， \(\small x\) 座標に指定した範囲から自動的に計算されます． \(\small y\) 座標の範囲も指定したいときは， 同じ書式で [y, c, d] のように追加指定します． デフォルトでは横軸のラベルとして「\(\small x\)」が付され， 縦軸には何も付されません．下図はラベルの上部を切り出したものです． グラフ画面を消すと「busy」という表示も消えます．グラフ画面を消さないと， 次のコマンドを実行することはできません．

複数のグラフを実線と点線で描画するには次のようにします． 最初の関数のグラフが実線(lines)で，2番目が点線(dots)で描画されます．

なお，下記ではコマンドの全体像が分かるように改行して示しています． TexMacs+Maximaでは「Shift+Enter」により， wxMaximaでは「Enter」により改行することができます． それぞれで，実行コマンドと改行コマンドが逆になっているので注意してください．

この図では，点線の点の大きさが気になるかもしれません． その点の大きさを指定したいときは「dots」を「points」にすると， 点の大きさを指定することができます．たとえば，次のように指定すると， 点の大きさが少し大きくなります．数値は，点の大きさの半径です．

実線の太さを調整するには，lines の後で太さの数値を指定します． 下図では，線を少しずつ太くしています．数値を大きくするほど太くなります．

「plot2d([parametric,cos(t),sin(t),[t,0,2\(\small *\)%pi]], same_xy)＄」

「plot2d([parametric,cos(t),sin(t),[t,0,2\(\small *\)%pi]], [x, -2, 2], [y, -1.2, 1.2])＄」

z=f(x,y)のグラフ
　2変数関数のグラフを描画するMaximaのコマンドは「plot3d」です． plot2dと同様に，関数と描画する範囲を指定するとグラフが描画されます． 下図は \(\small z=x^2+y^2\) のグラフです．

たとえば，中心が原点にある丸いドーナツ状の曲面は， 媒介変数 \(\small u, v\) と定数 \(\small r, s\) を用いて \[\small \begin{cases} x=(r+s\cos{v})\cos{u}\\ y=(r+s\cos{v})\sin{u}\\ z=s\sin{v} \end{cases}\] により表されます．このような曲面は「トーラス」と呼ばれます． 下図は，\(\small r=3, s=1\) のときのドーナツ状曲面です． 式が長いので，あらかじめリストで式を定義しています． また，3つの軸のスケールを同じにするために「same_xyz」を追加しています． [legened, false]は，右上に式が表示されるのを抑制するためのオプション変数です．

\(\small 　　\begin{align*} x&={\rm OA}={\rm OP}'\cos\varphi\\ &=r\sin\theta\cos\varphi\\ y&={\rm OB}={\rm AP}'={\rm OP}'\sin\varphi\\ &=r\sin\theta\sin\varphi\\ z&={\rm OC}=r\cos\theta \end{align*}\)

\(\small 　　\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\varphi\\ y=r\sin\theta\sin\varphi\\ z=r\cos\theta \end{cases}\\ \small 　　\begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \tan\theta=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\\ \tan\varphi=\frac{y}{x} \end{cases} \)

球座標を利用して曲面が \(\small r=f(\theta, \varphi)\) の形で表されるとき， そのグラフをplot3により描くには， 「plot3d ( f(theta, phi), [theta, 0, \%pi], [phi, 0, 2$*$\%pi], [transform_xy, spherical_to_xyz], same_xyz )＄」 とします． ただし，\(\small r\lt 0\) のときは点 \(\small (|r|, \theta+\pi, \varphi)\) を 表すものとします． オプション変数「transform_xy」の値は，標準では「false」になっています． この変数の値を「sherical_to_xyz」に指定することにより， 球座標を直交座標に直して曲面が描画されます． 「same_xyz」を指定することにより，3つの座標軸のスケールが同じになります．

一般に，変数の間の関数関係を表す式が \(\small F(x,y,z)=0\) の形の式で表されるとき，そのような関数を陰関数といいます． 陰関数(2変数関数)のグラフを描画するには専用のパッケージを読み込む必要があり， 最初に「load(draw)」を実行します． 描画コマンドは「draw3d」です． 「draw3d」により \(\small F(x,y,z)=0\) の \(\small a\le x\le b, c\le y\le d, e\le z\le f\) におけるグラフを描画するには 「draw3d ( implicit ( F(x,y,z)=0, x, a, b, y, c, d, z, e, f ) )」 と指定します．「plot3d」の書式と違うので気をつけてください． 「draw3d」では，変域を[ ]で囲う必要はありません． 下図は球 \(\small x^2+y^2+z^2=1\) を描画しています.

ファイル保存
グラフ画面を保存する最も簡単な方法は，グラフ画面の上部の左端にある アイコン「Copy the plot to clipboard」をクリックするだけです．

コマンドの末尾を「;」で終えると， 以前のバージョンでは 「c:/users/ログイン名/」のフォルダーに 「maxout12345.gnuplot」のようなgnuplotで読み込み可能なファイルで 自動保存されましたが， 最近のバージョンでは隠しフォルダーである 「c:/users/ログイン名/AppData/Local/Temp」に 保存されるようです. フォルダーの変更は「保存フォルダー」 を参照して下さい．また， 媒介変数の箇所も参照してください．

■単位ステップ関数
　連続ではない点を持つ関数として， たとえば単位ステップ関数(unit_step(x))と符号関数(signum(x))があります． 単位ステップ関数は，Maximaでは \(\small \Theta\,(x)\) で出力されます． \[\small {\rm unit\_step}\,(x)= \begin{cases} 0 & (x\leq 0)\\ 1 & (x\gt 0) \end{cases}\] 　下図は，「plot2d(unit_step(x),[x,-3,3],[y,-1,2])$」によるものです．

• デルタ関数
• デルタ関数
• デルタ関数
• ディラックのデルタ関数
• δ関数とフーリエ解析
• デルタ関数とラプラス変換

　これらの関数の詳細は，下記を参照してください．

• 高木関数
• 高木関数を描く
• 高木関数
• ワイエルシュトラス関数
• ディリクレ関数の定義と有名な3つの性質
• はじめてのディリクレ関数

q-対数関数
指数関数 \(\small e^x\) は， \(\small y'=y\) の解として得られますが， \(\small y'=y^q~(q>0)\) だとどうなるでしょうか？ 変数分離法で解くと，\(\small q\ne 1\) のとき \[\small \int\dfrac1{y^q}\,dy=\dfrac{y^{1-q}}{1-q}+C\] となりますが，\(\small q\to 1\) のときは \(\small \ln{y}\) であって欲しいので，右辺の積分定数を調整して \[\small \int\dfrac1{y^q}\,dy=\dfrac{y^{1-q}-1}{1-q}+C\] と不定形にして考えます．この形で考えると， \(\small y^{1-q}=e^{(1-q)\ln{y}}\) であることと ロピタルの定理を利用すると \[\small \lim_{q\to 1}\dfrac{y^{1-q}-1}{1-q}=\ln{y}\] となります．そこで，q-対数関数 \(\small (q>0)\) を \[\small [定義]\quad \log_q{x}=\dfrac{x^{1-q}-1}{1-q}\] により定めます． 上記のことから， \(\small \lim_{q\to 1}\log_q{x}=\ln{x}\) であり， \(\small \log_q{x}\) は通常の対数関数を含む関数で， \(\small y'=y^q\) の一般解は \(\small \log_q{y}=x+C\) と表されます． \(\small y=\log_q{x}\) の定義域は \(\small x>0\) で，値域は \(\small q>1 \) のときは \(\small y<\frac1{q-1}\)， \(\small q=1\) のときは実数全体， \(\small q<1 \) のときは \(\small y>\frac1{q-1}\) です．

q-指数関数
指数関数 \(\small y=e^x\) は， 対数関数 \(\small y=\ln{x}\) の逆関数として得られます． 同様に，q-対数関数の逆関数がq-指数関数です．\(\small x, y\) を 交換して \[\small x=\dfrac{y^{1-q}-1}{1-q}\] を \(\small y\) について解くと \[\small y=(1+(1-q)x)^{\frac1{1-q}}\] となるので，q-指数関数 \(\small (q>0)\) を次のように定義します． \[\small [定義]\quad \exp_q{x}=(1+(1-q)x)^{\frac1{1-q}}\] したがって，\(\small y=\exp_q{x}\Longleftrightarrow x=\log_q{y}\) です． 対数微分法を利用すると \(\small \lim_{q\to 1}\exp_q{x}=e^x\) であることも分かり， \(\small y'=y^q\) の一般解は，\(\small y=\exp_q(x+C)\) となります． \(\small y=\exp_q{x}\) の定義域と値域は，q-対数関数と逆になります．

q-対数関数とq-指数関数のグラフ
2つの関数を定義してグラフを描画すると，次のようになります．

下記はq-対数関数です．

下記はq-指数関数です．

微分方程式のスケール不変性
微分方程式 \(\small \dfrac{dy}{dx}=y^q\) の一般解は， \begin{align*} \small y &\small =\exp_q(x+C)\\ &\small =(1+(1-q)(x+C))^{\frac1{1-q}} \end{align*} ですが，この式は次のように変形することができます (展開してみれば確認できます)． \begin{align*} \small y &\small =\left\{1+(1-q)C\right\}^{\frac1{1-q}}\\ &\small \quad \times\left\{1+(1-q)\dfrac{x}{1+(1-q)C}\right\}^{\frac1{1-q}} \end{align*} ここで，\(\small A=\left\{1-(1-q)C\right\}^{\frac1{1-q}}\) とおくと， \[\small y=A\exp_q\dfrac{x}{A^{1-q}}\] と表すことができるので， \[\small \dfrac{y}{A}=\exp_q\dfrac{x}{A^{1-q}}\] となります．そこで， \[\small \tilde{x}=\dfrac{x}{A^{1-q}},\quad \tilde{y}=\dfrac{y}{A}\] とおくと，
\begin{align*} \small \dfrac{d\tilde{y}}{d\tilde{x}} &\small =\dfrac{d\tilde{y}}{dx} \dfrac{dx}{d\tilde{x}} =\dfrac1{A}\dfrac{dy}{dx}A^{1-q}\\ &\small =A^{-q}y^q=\tilde{y}^q \end{align*}
となり，\(\small x, y\) をスケール変換しても 同じ形の微分方程式になります． \(\small A\) は積分定数 \(\small C\) を含み任意性があるので， 微分方程式 \(\small \dfrac{dy}{dx}=y^q\) は スケール不変性を持つことになります．

q-指数関数とべき関数
自己相似性をもつような関数，つまり \(\small f(cx)=g(c)f(x)\propto f(x)\) という性質をもつ関数は，べき関数 \(\small f(x)=Cx^{\gamma}\) に 限られます(参照)． スケール不変性を持つ微分方程式の解である \(\small \exp_q{x}\) と べき関数 \(\small x^{\gamma}\) の間には，次のような関係があります．

今，\(\small q>1\) とします．\(\small \exp_q(-x)\) を， \(\small (q-1)x\gg 1\) のとき，つまり，\(\small (q-1)x\) が1より十分に大きいときに考えると， \begin{align*}\small \exp_q(-x) &\small =(1+(1-q)(-x))^{\frac1{1-q}}\\ &\small =(1+(q-1)x)^{\frac1{1-q}}\\ &\small \approx ((q-1)x)^{\frac1{1-q}}\\ &\small \propto x^{\frac1{1-q}} \end{align*} となり，ある値以上ではべき関数 \(\small x^{\frac1{1-q}}\) (減少関数)と 比例します．これは，\(\small \exp_q(-x)\) を両対数グラフで描画すると， ある値以上では直線状になることを示しています．

同様にすると，\(\small 0 < q < 1\) のときは， \(\small \exp_q(x)\propto x^{\frac1{1-q}}\) (増加関数)が得られます．

下記は，\(\small \exp_q(-x)\) を両対数グラフで示したものです．

両対数グラフで描画すると右下がりの直線状になる実データは， この世界には山ほどあります[べき分布]． 両対数グラフが直線状になるということは， \[\small \log{y}=\log{C}-a\log{x}\] という形になるので，\(\small y=Cx^{-a}\) の形です． このときの「べき指数」は，概ね \(\small 2 < a < 3\) の値となることが 多いようです．q-指数関数でいえば， \(\small 2 < \frac1{q-1} < 3\)の場合なので，\(\small \frac43 < q < \frac32\) の場合になります． 具体的な値をみると，概ね \(\small x>30\) では値がほとんど一致します．
(注) \(\small y\) 軸を対数軸にするには，「logy」を追加すればよいはずですが， 何故かエラーになるので，「gnuplot_preamble」を利用して指定しました． Maximaに書かれていないgnuplotのコマンドは，この形で利用できる場合があります．

q-積とq-比
q-指数関数とq-対数関数を，通常の指数関数や対数関数のように 扱うことができるような積を定義することができます．

\(\small x^{1-q}+y^{1-q}-1>0\) を満たす \(\small x, y>0\) に対して \[\small [定義]\quad x\otimes_q y=(x^{1-q}+y^{1-q}-1)^{\frac1{1-q}}\] を，q-積といいます．この積に関して \begin{align*} \small \exp_q{x}\otimes_q\exp_q{y}&\small =\exp_q(x+y)\\ \small \log_q(x\otimes_q y)&\small =\log_q{x}+\log_q{y} \end{align*} が成り立ちます．これは，q-指数関数やq-対数関数の定義式に 戻れば，容易に確認できます．

同様に， \(\small x^{1-q}-y^{1-q}+1>0\) を満たす \(\small x, y>0\) に対して \[\small [定義]\quad x\oslash_q y=(x^{1-q}-y^{1-q}+1)^{\frac1{1-q}}\] を，q-比といいます．この比に関して \begin{align*} \small \exp_q{x}\oslash_q\exp_q{y}&\small =\exp_q(x-y)\\ \small \log_q(x\oslash_q{y})&\small =\log_q{x}-\log_q{y} \end{align*} が成り立ちます．

これらの性質を利用すると，指数関数や対数関数に関する種々の性質を ことごとくq-指数関数やq-対数関数を用いた式に書き換えることができます． 階乗，多項係数，スターリングの公式，ガウスの誤差法則，エントロピー， さらには情報理論など，多方面で応用されています．

参考文献

• ツアリス統計入門
  この書籍は，「複雑系のための基礎数理」(須槍弘樹，牧野書店，2010)を 共立出版が継承して電子出版されたものです(2024.1)．
• Tsallis統計のマクロとミクロ
• 基本的な非線形微分方程式から導かれるTsallisエントロピーと マルチフラクタル構造