- 単位ステップ関数
単位ステップ関数は，次の式で定義される関数です．
\[\small \Theta(x)=\begin{cases} 0& (x\le 0)\\ 1 & (x>0)\end{cases}\]
この関数は，ラプラス変換などで学びます．この関数を利用すると，
指定した関数の特定の範囲だけを切り出すことができます．
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- ガンマ関数
ガンマ関数 \(\small \Gamma(x)\) は，次の式で定義される関数です．
\[\small \Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt\]
この関数は，確率分布の箇所で天下りに示されて，
いろいろな確率密度関数の定義に利用されています．
物理や工学でも現われます．
ここでは，ガンマ関数が階乗の一般化であることなどの基本的な性質を
解説しました．
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- デルタ関数
デルタ関数 \(\small \delta(x)\) は，次の式で定義される関数です．
\[\small \delta(x)=\begin{cases}\infty & (x=0)\\ ~0 & (x\ne 0)\end{cases}\]
\[\small \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\,dx=1\]
衝撃波を表すとしてフーリエ解析の箇所で現われます．
ここでは，デルタ関数を定義する幾つかの関数列をあげて，
その収束の様子をグラフ化しました．
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- 高木関数
高木関数\(\small T(x)\) は，連続であるが至るところ微分可能ではない
関数として，高木貞治先生が考案した関数です．
\(\small f(x)\) を閉区間 \(\small [0,1]\) で定義された関数として，
\(\small f_2(x)=f(f(x)), f_3(x)=f(f_2(x)),\cdots\) として
\(\small f_n(x)\) を定めるとき，高木関数は次の式で定義されます．
\[\small f(x)=\begin{cases}2x & (0\le x\le \frac12)\\
2-2x & (\frac12\le x\le 1)\end{cases}\]
\[\small T(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f_n(x)}{2^n}\]
この関数のグラフを紹介しました．
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- q-対数関数とq-指数関数
\(\small q\)-対数関数と\(\small q\)-指数関数は，
複雑系や情報系などに現われる関数で，
対数関数や指数関数をべき関数 \(\small x^a\) と結びつける関数です．
\(\small q\)-対数関数は，微分方程式 \(\small y'=x^{q}~(q>0)\) の
解として定義され，その逆関数が \(\small q\)-指数関数です．
その詳細と幾つかの性質を解説しました．
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- 球面調和関数
球面調和関数は，球面上のフーリエ級数のような関数です．
量子力学，音響分野，CG等では必須の関数とされています．しかし，
特殊関数であるルジャンドル培関数 \(\small P_l^m(x)\) を利用して
\[
\begin{align*}
\small Y_l^m(\theta,\phi)
=&\small \sqrt{\small \frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}\\
&\small \times P_l^{m}(\cos\theta)e^{im\phi}
\end{align*}
\]
により定義されるので，
この関数を理解するのは容易ではありません．
そこで，その概要を解説しました．
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- 合流型超幾何関数
合流型超幾何関数は，合流型超幾何微分方程式
\[\small xy''+(b-z)y-ay=0\]
の解としてべき級数で定義される関数です．
第1種と第2種があり，
特殊関数であるホイッタカー(Whittaker)関数は
第2種合流型超幾何関数を利用して定義されます．
べき指数が \(\small \frac23, \frac32\) であるような
べき分布に従う確率変数の和の分布は，
ホイッタカー関数を利用して表すことができます．
これらの関数の式と，
「R」によるホイッタカー関数のグラフを紹介しました．
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- GSL
GSLは，「GNU科学技術計算ライブラリー」の略称であり，
数学のあらゆる分野にわたる関数をまとめた
C言語のライブラリーです．
その「リファレンス・マニュアル」(英文)をみれば，
このライブラリーの膨大さが分かります．
この中に必要とする関数が含まれ，さらにC言語にある程度堪能であれば，
その部分だけ「gnuplot」に取り入れて利用することができます．
「R」には，GSLのパッケージがあります．
それらの利用の仕方について解説しました。
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